[css] 변환 행렬 - 전편

CSS에서는 요소의 이동이나 크기, 회전을 조절하기 위한 transform 속성이 있습니다. 이는 내부적으로 변환 행렬을 통해 처리합니다. 변환 행렬을 사용하면 요소의 변환을 비교적 간단하게 수행할 수 있습니다.

변환 행렬

변환 행렬이란 변환에 대한 행렬 표현입니다. 여기서 변환이란 함수라 생각해 주시면 됩니다. 즉, 함수의 행렬 표현 정도로 보시면 되겠네요. 행렬이 어떻게 함수의 역할을 할 수 있을까요? 함수가 무엇인가요? 기능 측면에서 접근해 봅시다. 함수는 입력이 들어오면 출력을 내보냅니다. 마찬가지로 변환 행렬에 입력을 주면, 출력을 얻을 수 있습니다. 신기하죠? 자, 이제 작동 방식을 한번 살펴봅시다.

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + cy \\ bx + dy \end{pmatrix} \end{aligned}$$

위 수식을 보시면 변환 행렬에 순서쌍 $(x, y)$를 곱해서 새로운 순서쌍 \((ax + by, bx + dy)\)을 얻었습니다. 이게 바로 tansform 속성이 행렬을 사용해서 대상 요소를 조작하는 방식입니다. 간단하죠? 이 $x$와 $y$에 실제 값을 넣으면 우리가 원하는 변경된 좌표를 얻을 수 있습니다. 우리는 주로 사각형 영역을 다루니까 네 개의 점을 각각 대입하여 새로운 네 개의 점을 얻을 수 있겠네요.

그런데 조금 이상한 점이 있죠? transform 속성을 다룰 때 가장 많이 사용하는 함수가 무엇인가요? 제 개인적으로는 translate일 것 같은데요. translate는 위치 변환을 담당합니다. 그런데 우리가 얻은 순서쌍의 결과를 보면 상수항이 없습니다. 즉, 네 개의 점을 문자 그대로 특정 수치만큼 옮길 수가 없다는 것이죠.

예를 들어볼까요? 대상이 $(0, 0)$을 꼭짓점 중 하나로 갖는다고 가정해 봅시다. 이제 새로이 얻은 순서쌍에 점의 좌표를 대입해 봅시다. 결과는 뻔하죠? $x$와 $y$가 모두 0이니 결과는 $(0, 0)$이 되겠네요. 결과적으로 행렬을 어떻게 구성하더라도 점을 이동할 수 없다는 의미가 되겠네요.

아핀 변환 행렬

이를 해결하기 위해 아핀 변환 행렬이라는 개념을 적용합니다. 이는 차원을 하나 추가하여 위치 변환을 가능케 합니다. 변환을 수행하면 아래와 같습니다.

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + cy + e \\ bx + dy + f \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

사용하지 않는 차원을 하나 추가함으로써 새로운 순서쌍의 각 요소에 상수항을 만들어 냈습니다. 이제 기존 좌표에 영향을 받지 않고 문자 그대로 위치를 원하는 만큼 옮길 수 있겠네요.

변환 행렬의 종류

기준 행렬은 어떠한 변환도 수행하지 않은 초기 상태를 나타내며 단위행렬로 표현됩니다.

위치 변환 행렬은 대상을 이동하는 데 사용됩니다. 후술하겠지만 이는 단순히 좌표를 이동하는 것과는 조금 다릅니다.

크기 변환 행렬은 대상의 크기를 축소/확대하는 데 사용됩니다. 닮음 변환 행렬이라고도 불립니다.

기울기 변환 행렬은 대상을 특정 방향으로 기울이는 데 사용됩니다. 위 표에서는 기준 축과의 각에 대해 표현한 것으로 scaleX에 대해서는 \(\theta_y\)가 사용되며 scaleY에 대해서는 \(\theta_x\)가 사용됩니다. 전단 변환 행렬이라고도 불립니다.

회전 변환 행렬은 대상을 특정 각도만큼 회전하는 데 사용됩니다.

내용은 다음 편에서 이어집니다. 읽어주셔서 감사합니다!

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